disjunkt
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
In der Mengenlehre heißen zwei Mengen A und B disjunkt oder elementfremd, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn je zwei von ihnen disjunkt sind.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Definitionen
Zwei Mengen A und B sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, wenn also gilt:
Eine Familie 
von Mengen ist eine disjunkte Mengenfamilie, wenn ihre Elemente paarweise disjunkt sind, wenn also gilt:
für 
Die Vereinigung M einer disjunkten Mengenfamilie nennt man disjunkte Vereinigung und schreibt sie als
Sind außerdem alle Mengen der Familie nichtleer, liegt eine Partition von M vor.
Die Begriffe werden auch analog für Mengensysteme (anstelle von Mengenfamilien) verwendet.
[Bearbeiten] Beispiele
- Die Mengen A = {1,2,3} und B = {7,8,11} sind disjunkt, weil sie kein gemeinsames Element haben.
- Die Mengen A = {1,2,7} und B = {6,7,8,11} sind nicht disjunkt, da sie das Element 7 gemeinsam haben.
- Die drei Mengen A = {1,2,3}, B = {4,5} und C = {5,6,7} sind nicht paarweise disjunkt, da zumindest eine der drei möglichen Schnittmengen (nämlich
) nichtleer ist.
- Die folgende Aufzählung definierte eine (unendliche) disjunkte Mengenfamilie, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellt:
.
- Zwei verschiedene Geraden g und h in der euklidischen Ebene sind genau dann disjunkt, wenn sie parallel sind. Die Gesamtheit aller Parallelen zu einer gegebenen Geraden g bildet eine Partition der Ebene.
[Bearbeiten] Eigenschaften
- Die leere Menge
ist disjunkt zu jeder beliebigen Menge.
- {a} und B sind genau dann disjunkt, wenn
.
- Die Mächtigkeit einer endlichen disjunkten Vereinigung endlicher Mengen ist gleich der Summe der Einzelmächtigkeiten. Für nicht-disjunkte Vereinigungen gilt die Siebformel.
[Bearbeiten] Siehe auch
- Lineare Disjunktheit, ein Begriff der abstrakten Algebra im Zusammenhang mit Körpererweiterungen, der mit der hier betrachteten Disjunktheit nur gemeinsam hat, dass die Schnittmenge linear disjunkter Körper kleinstmöglich ist.
[Bearbeiten] Weblinks
Wiktionary: disjunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik
